Viime sunnuntaina Helsingin Sanomat kirjoitti peruskoululaisten ja lukio-opiskelijoiden matemaattisen osaamisen laskeneen. Yhdeksi syyksi artikkelissa arvioitiin opiskelumotivaation puuttumisen. On totta, että jos matematiikan opiskeluun ei ole kiinnostusta, sitä on turha koittaa nostattaa esimerkiksi kijoittamalla sen tärkeydestä. Matematiikan opiskelu voi peruskoulussa ja lukiossa vaikuttaa kaavamaiselta ulkoaopettelulta kaiken mielenkiintoisen materiaalin jäädessä vihreille extra-sivuille, mistä niitä ei ikinä lueta oppituntien aikana.
Minulle jännittävimmät muistot matematiikan opiskeluun lukiossa ja yliopistossa liittyvät hetkiin, jolloin jokin asia on jäänyt aidosti ihmetyttämään. Nämä ovat hetkiä, jotka saavat epäilemään, että tähän on nyt jokin koira haudatuna ja siitä on otettava selvää. Esittelen tänään yhden tällaisen mysteerin.
Yhtälöllä
[latex] x_{n+1} = rx_n(1-x_n) [/latex]
voidaan kuvata esimerkiksi populaation kasvua. Tällöin termi r kuvaa populaation uudistumiskykyä, ja populaation kokoa rajoittaa termi [latex](1-x_n)[/latex]. Suomen kielelle kirjoitettuna yhtälön voi lukea “x:n seuraava arvo lasketaan kertomalla x:n edellinen arvo luvulla r sekä yksi miinus x:n edellisen arvon erotuksella”. Matemaattisesti yhtälö on hyvin määritelty, mutta se on hyvin herkkä ensimmäiselle x:n arvolle sekä termille r. Allaolevassa kuvasta nähdään, että r:n arvon muuttaminen arvosta r=2,9 arvoon r=3,1 aiheuttaa kuudellakymmenellä iteraatiolla (x:n arvon laskemisella) täysin erilaisen kuvion. Arvolla r=2,9 yhtälö saavuttaa yhden lopullisen arvon, joka on noin x=0,65 kun taas arvolla r=3,1 yhtälö alkaa heilahdella arvojen x = 0,56 ja x=0,76 välillä. Nopeasti ajateltuna olisi voinut arvata, että arvolla r=3,1 yhtälö saavuttaisi jonkin hieman suuremman loppuarvon. Sivuhuomiona sanottakoon, että myös syksyllä näyttämälläni toisella populaatioesimerkillä on samanlaista sensitiivisyyttä alkuarvoilla.
Ylläolevia yhtälöitä, jotka käyttäytyvät yllättävällä tavalla, kutsutaan kaoottisiksi. Tarkalleen ottaen myös kaaos on matematiikassa tarkasti määritelty, mutta tämän kirjoituksen tarkoitukseen riittäkööt määritelmä, että yhtälö käyttäytyy tavalla, jota ei olettaisi. Tällaisiin yhtälöihin törmää myös säätä ennustettaessa. Nykyään sääennusteet laaditaan tietokonemalleilla, jotka kuvaavat ilmakehässä tapahtuvia fysikaalisia prosesseja. Mallien ratkaisemat yhtälöt ovat siitä ikäviä, että vallitsevat sääolot on tunnettava todella tarkasti, koska pienetkin eroavaisuudet alkuarvoissa saattavat aiheuttaa täysin erilaiset ennusteet. Monet ovat todennäköisesti kuulleetkin puhuttavan perhosvaikutuksesta, jonka mukaan perhosen siipien heilunta voi aiheuttaa tornadon toisella puolella maapalloa. Vertaus pitää paikkansa, sillä mitä pidemmälle haluamme säätä ennustaa sitä tarkemmin meidän on tiedettävä vallitsevat sääolot. Pitkille menevissä ennusteissa jopa perhosten siipien havinan kokoiset ilmanpaineen muutokset voivat aiheuttaa erilaiset ennusteet.
Kiitos mielenkiintoisesta kirjoituksesta ja muutenkin viihdyttävästä blogista.
Ainoa mikä minua jäi mietityttämään, oli se, että miksei kyseisen mysteerifunktion käytöstä oltu tarkasteltu arvoilla r > 3.6. Tällöin mielestäni kaoottisuus tulee ilmi hurjemmissa määrin. Tässä on funktiota hyvin havainnollistava animaatio: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1f/Logistic_map_animation.gif
Rehellinen vastaus on, että arvo r=3.1. oli ensimmäinen arvo, jota kokeilin ja jolla sain aikaiseksi selkeän eron. Tuo animaatio kyllä näyttää koko r-riippuvuuden varsin hienosti!